ESTADÍSTICA ELEMENTAL |
Añadiendo información para mejorar nuestras decisiones
Ricardo Ocaña-Riola
Doctor en Ciencias Matemáticas
Profesor de Estadística - Escuela Andaluza de Salud Pública
Marta había superado todas las pruebas de un concurso televisivo y se encontraba en la gran final. Si jugaba bien podría ganar el coche que tanto deseaba. Entusiasmada, seguía atenta las instrucciones del presentador:
-Marta, ahí delante hay tres puertas. Tras una de ellas se encuentra el coche y detrás de las otras dos hay una cabra. Debes elegir una puerta, la abriremos y ganarás el premio que se oculte detrás de la puerta que escojas. ¿Cuál prefieres?-
Marta reflexionó un instante. Era un juego de azar. A priori, con la escasa información que el presentador le había proporcionado, el coche podría estar detrás de cualquiera de las tres puertas con la misma probabilidad, 1/3, así que señaló indiferente: -Elijo la segunda-
El presentador, con semblante misterioso, dijo: -¿Estás segura?– A lo que, tras el asentimiento de la concursante, añadió:
-Me caes bien, Marta. Quiero ayudarte a conseguir el coche, de manera que antes de tomar la decisión definitiva te daré más información. Como conozco lo que hay detrás de cada puerta abriré una, distinta a la que has elegido, sabiendo que tras ella hay una cabra. En este caso voy a optar por la tercera puerta para mostrarte que efectivamente hay… ¡una cabra!... Ahora sólo quedan dos puertas por abrir: la segunda, que ha sido tu elección inicial, y la primera. El coche está detrás de una de ellas. ¿Quieres cambiar de puerta?-
Marta no lo dudó. Cambió su elección original por la otra puerta, la primera. La mayoría del público pensaba que este intercambio no tendría repercusión alguna, ya que, supuestamente, ambas puertas tendrían la misma probabilidad de ocultar el coche: ½. Sin embargo, Marta sabía que no era así. La nueva información que el presentador ofreció aumentaba a 2/3 la probabilidad de conseguir el premio si cambiaba de puerta. Así lo hizo y… ¡ganó!. Había tomado la decisión más favorable para alcanzar su objetivo.
La situación anterior se conoce como la paradoja de Monty Hall, nombre del presentador que hizo popular un concurso similar llamado Hagamos un trato. Lo importante ahora no es tanto entender la solución sino comprender que la información adicional que vamos recibiendo modifica la probabilidad de tomar la decisión adecuada. Esta probabilidad se conoce como probabilidad condicionada, una medida que cuantifica la ocurrencia de un fenómeno tras haber observado la ocurrencia de otros.
La siguiente imagen muestra un ejemplo sencillo. En la parte izquierda hay una población compuesta por 100 personas. Cada una de ellas está representada por un círculo celeste si nunca ha tenido un infarto de miocardio y rojo si lo ha tenido.
Octubre de 2011