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Divestadística ESTADÍSTICA ELEMENTAL

 

Añadiendo información para mejorar nuestras decisiones


Ricardo Ocaña-Riola
Doctor en Ciencias Matemáticas
Profesor de Estadística - Escuela Andaluza de Salud Pública


Marta había superado todas las pruebas de un concurso televisivo y se encontraba en la gran final. Si jugaba bien podría ganar el coche que tanto deseaba. Entusiasmada, seguía atenta las instrucciones del presentador:

-Marta, ahí delante hay tres puertas. Tras una de ellas se encuentra el coche y detrás de las otras dos hay una cabra. Debes elegir una puerta, la abriremos y ganarás el premio que se oculte detrás de la puerta que escojas. ¿Cuál prefieres?-

Marta reflexionó un instante. Era un juego de azar. A priori, con la escasa información que el presentador le había proporcionado, el coche podría estar detrás de cualquiera de las tres puertas con la misma probabilidad, 1/3, así que señaló indiferente: -Elijo la segunda-

El presentador, con semblante misterioso, dijo: -¿Estás segura?– A lo que, tras el asentimiento de la concursante, añadió: -Me caes bien, Marta. Quiero ayudarte a conseguir el coche, de manera que antes de tomar la decisión definitiva te daré más información. Como conozco lo que hay detrás de cada puerta abriré una, distinta a la que has elegido, sabiendo que tras ella hay una cabra. En este caso voy a optar por la tercera puerta para mostrarte que efectivamente hay… ¡una cabra!... Ahora sólo quedan dos puertas por abrir: la segunda, que ha sido tu elección inicial, y la primera. El coche está detrás de una de ellas. ¿Quieres cambiar de puerta?-

Marta no lo dudó. Cambió su elección original por la otra puerta, la primera. La mayoría del público pensaba que este intercambio no tendría repercusión alguna, ya que, supuestamente, ambas puertas tendrían la misma probabilidad de ocultar el coche: ½. Sin embargo, Marta sabía que no era así. La nueva información que el presentador ofreció aumentaba a 2/3 la probabilidad de conseguir el premio si cambiaba de puerta. Así lo hizo y… ¡ganó!. Había tomado la decisión más favorable para alcanzar su objetivo.


El público no lograba comprender su táctica. ¿Por qué la probabilidad de ganar había aumentado al cambiar de puerta?. La solución no es obvia y, aunque no requiere conocimientos estadísticos, es necesario un buen rato de reflexión para comprenderla. La respuesta correcta parece contradecir el sentido común y ha generado tanta curiosidad que se ha incluido en películas como 21 Black Jack o series televisivas como Numb3rs. Este fragmento de video te ayudará a comprender la decisión de Marta. Pertenece al capítulo La caza del hombre de la serie Numb3rs (primera temporada, capítulo 13):




La situación anterior se conoce como la paradoja de Monty Hall, nombre del presentador que hizo popular un concurso similar llamado Hagamos un trato. Lo importante ahora no es tanto entender la solución sino comprender que la información adicional que vamos recibiendo modifica la probabilidad de tomar la decisión adecuada. Esta probabilidad se conoce como probabilidad condicionada, una medida que cuantifica la ocurrencia de un fenómeno tras haber observado la ocurrencia de otros.

La siguiente imagen muestra un ejemplo sencillo. En la parte izquierda hay una población compuesta por 100 personas. Cada una de ellas está representada por un círculo celeste si nunca ha tenido un infarto de miocardio y rojo si lo ha tenido.

Estadística elemental. Añadiendo información para mejorar nuestras decisiones


En este caso, 8 de los 100 individuos han tenido infarto, por lo que la probabilidad de infarto para una persona de esa población es 0.08 (8%). Sin embargo, cuando se añade información, esta probabilidad cambia. La parte derecha de la imagen muestra la misma población dividida en 30 fumadores y 70 no fumadores. Ahora, la probabilidad de infarto condicionada a que la persona fume es 6/30=0.20 (20%).

El cálculo de una probabilidad condicionada no siempre es sencillo. Su complejidad aumenta a medida que se incorpora información adicional, de manera que habitualmente es necesario recurrir a ecuaciones matemáticas que tienen su origen en los trabajos realizados hace más de 200 años por Thomas Bayes. Actualmente, estos procedimientos han permitido el desarrollo de algunos sistemas expertos, aplicaciones informáticas capaces de simular el razonamiento de una persona. Su uso resulta de gran ayuda en el diagnóstico de enfermedades, calculando la probabilidad de que la persona tenga una enfermedad cuando se han observado en ella determinados síntomas. También se utilizan para implementar filtros de correo electrónico, estimando la probabilidad de que el mensaje recibido sea correo basura o spam tras detectar en él ciertas palabras.

A continuación podrás comprobar cómo funciona un sistema experto capaz de adivinar tus pensamientos. La información que proporciones servirá para calcular la probabilidad de que estés pensando en un personaje concreto tras observar tus respuestas, por lo que la sinceridad será fundamental para que el sistema funcione correctamente. ¡Diviértete con Akinator!


     Octubre de 2011


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